排列组合解题方法,巧解排列组合题

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排列组合解题方法,巧解排列组合题

  在国家公务员[微博]考试行测试卷中,数学运算部分排列组合的题型还是经常会涉及到。排列组合中有部分题目属于特殊题型,可以结合特定的方法去做。只要掌握了方法就可以轻松解决这类题。这里我们重点介绍几种比较常用的方法。下面中公教育[微博]专家就结合例题,进行具体的阐述:

  中公教育[微博]研究与辅导专家  王星星

中公教育[微博]研究与辅导专家王金花

排列组合问题是公务员考试当中必考题型,题量一般在一到两道,近年国考这部分题型的难度逐渐在加大,解题方法也越来越多样化,所以在掌握了基本方法原理的基础上,还要求我们熟悉主要解题思想。那首先什么排列、组合呢?

  一、特殊条件优先法

  中公教育专家发现,一些排列组合问题条件比较多,直接使用分类或分步来考虑较为复杂,在这种情况下,掌握一些特定的解题方法和公式有助于大家快速解题。在此,中公教育专家介绍七种解题方法,帮助考生迅速看懂考题要义。

排列组合问题是国家公务员[微博]考试的一种常考题型。此类问题题型多样(排列问题、组合问题、排列与组合综合问题)思路灵活,在掌握基本原理的前提下,还需要掌握一定的方法与技巧才能更高效地解决。下面中公教育专家就为考生讲解如何巧解排列组合题型。

排列:从n个不同元素中,任取m个元素(这里的被取元素各不相同)按照一定的顺序排成一列,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列。

  排列组合题目中,会出现特殊要求,这个时候我们就需要利用分步的思想,优先考虑特殊条件。

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一、基本原理

组合:从n个不同元素种取出m个元素拼成一组,称为从n个不同元素取出m个元素的一个组合。

  这里我们举例说明一下:

  排列组合解题方法,巧解排列组合题。1.特殊定位法

基本原理包括加法原理和乘法原理:

亚洲必赢官网app( ,解答排列组合问题,首先必须认真审题,明确是属于排列问题还是组合问题,或者属于排列与组合的混合问题,其次要抓住问题的本质特征,灵活运用基本原理和公式进行分析,同时还要注意讲究一些策略和方法技巧。下面介绍几种常用的解题方法和策略。

  例:6个人排成一列,要求甲不能站在队首和队尾,问,有几种排法?

  排列组合问题中,有些元素有特殊的要求,如甲必须入选或甲必须排第一位;或者有些位置有特殊的元素要求,如第一位只能站甲或乙。此时,应该优先考虑特殊元素或者特殊位置,确定它们的选法。

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解决排列组合问题有几种相对比较特殊的方法。下面通过例题逐个掌握:

  这道题中,甲的站队就属于特殊条件,那么我们要优先考虑这个条件。而,甲不能站在队首和队尾,总共6个位置,排除首尾两个位置,甲可以站的位置为4。剩下的5个人没有特殊要求,纯粹是五个人站队,即为亚洲必赢官网app( 3

  例题1: 1名老师和6名学生排成一排,要求老师不能站在两端,那么有多少种不同的排法?

二、排列与组合

一、相邻问题—捆绑法 不邻问题—插空法

  这道题共分了两步,因此用乘法,结果是4×亚洲必赢官网app( 4=480。

  A.720 B.3600 C.4320 D.7200

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对于某几个元素不相邻的排列问题,可先将其他元素排好,再将不相邻元素在已排好的元素之间及两端空隙中插入即可。

  二、捆绑法

  中公解析:此题答案为B。此题中特殊元素是老师,特殊位置是两端,可优先考虑。

三、排列组合方法汇总

【例题1】一张节目表上原有3个节目,如果保持这3个节目的相对顺序不变,再添进去2个新节目,有多少种安排方法?

  在排队问题中,题中若要求两个人相邻,则可以利用捆绑法来处理。

  方法一:优先考虑特殊元素“老师”。

有以下几种方法是常用的:特殊定位法、捆绑法、插空法、隔板法、归一法、线排法、反面考虑法。现将对其中的捆绑法、插空法、隔板法进行详细说明。

A.20 B.12 C.6 D.4

  我们同样举例说明一下:

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适用范围如下:

【答案】A。

  例:6个人排成一列,要求甲乙必须相邻,问,有几种排法?

  方法二:优先考虑特殊位置“两端”。

捆绑法:题干中存在两个或多个元素相邻。

【解析】首先,从题中之3个节目固定,固有四个空。所以一、两个新节目相邻的的时候:把它们捆在一起,看成一个节目,此时注意:捆在一起的这两个节目本身也有顺序,所以有:C(4,1)×2=4×2=8种方法。二、两个节目不相邻的时候:此时将两个节目直接插空有:A(4,2)=12种方法。综上所述,共有12+8=20种。

  这道题同样有一个特殊条件,甲乙必须相邻,所以也采用优先法,先考虑特殊条件,而这里要求甲乙相邻,那么就可以采用捆绑法,把甲乙绑在一起,而甲乙绑一起有两种方法,甲在前或者乙在前。将甲乙绑在一起之后,就可将甲乙看成是一个整体,那么6个人排队就相当于是5个人排队,也就是亚洲必赢官网app( 7。那么此题分了两步进行,结果是2×亚洲必赢官网app( 8=240。

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插空法:题干中存在两个或多个元素不相邻。

二、插板法

  三、插空法

  2.反面考虑法

隔板法:形如“将n个相同元素分成m组,每组至少一个”。

一般解决相同元素分配问题,而且对被分成的元素限制很弱(一般只要求不等于零),只对分成的份数有要求。

  排队问题中,题中若要求两个人不相邻,则可以利用插空法来处理。

  有些题目所给的特殊条件较多或者较为复杂,直接考虑需要分许多类,而它的反面却往往只有一种或者两种情况,此时我们先求出反面的情况,然后将总情况数减去反面情况数就可以了。

【例题1】6个人站成一排,要求甲、乙必须相邻,那么有多少种不同的排法?

【例题2】把20台电脑分给18个村,要求每村至少分一台,共有多少种分配方法?

  我们结合例题进行说明:

  例题2: 从6名男生、5名女生中任选4人参加竞赛,要求男女至少各1名,有多少种不同选法?

A.280B.120C.240D.360

A.190 B.171 C.153 D.19

  例:6个人排成一列,要求甲乙不相邻,问,有几种排法?

  A.240 B.310 C.720 D.1080

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【答案】B。

  这道题同样有一个特殊条件,甲乙不相邻,所以也采用优先法,先考虑特殊条件,而这里要求甲乙不相邻,那么就可以采用插空法。也就是将甲乙放在另外四个人所形成的空格中,而四个人可以组成5个空格。现在就需要从5个空格中选出来两个空放甲乙,这里应该用排列数,则为亚洲必赢官网app( 12。而另外4个人是正常排队问题,应为亚洲必赢官网app( 13。那么此题分了两步进行,结果是亚洲必赢官网app( 14×亚洲必赢官网app( 15=480。

  中公解析:此题答案为B。从反面考虑,“男女至少各1名”的反面是“只选男生或只选女生”。

中公解析:此题答案为A。共有12盏灯,两端的两盏不能熄灭,考虑中间10盏灯,由“不能熄灭相邻的两盏灯”可知,被熄灭的3盏灯互不相邻,因此,题目可以转化为“10盏路灯排成一排,要求被熄灭的3盏灯互不相邻,有多少种熄灯的方法?”可使用插空法。由于这里的灯完全相同,所以不需要进行排列,只需将要熄灭的3盏灯插入剩下的7盏与两端形成的8个空中,如图(7-1):

【解析】此题的想法即是插板思想:在20电脑内部所形成的19个空中任意插入17个板,这样即把其分成18份,那么共有:
C(19,17)=C(19,2)=171 种。

  四、隔板法

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三、特殊位置和特殊元素优先法

  对于相同元素的分配问题,我们主要利用隔板法来解决。

  故所求为330-20=310种不同选法。

对有限制的排列组合问题中的特殊元素或特殊位置优先考虑。

  我们结合例题来进行说明:

  3.捆绑法

【例题2】从6名运动员中选4人参加4×100米接力,甲不跑第一棒和第四棒的参赛方案各有多少种?

  例:3个人分9个苹果,要求每个人至少有一个苹果,问有几种分法?

  在排列问题中,如果题中要求两个或多个元素“相邻”时,可将这几个元素捆绑在一起,作为一个整体进行考虑。

A.120 B.240 C.180 D.60

  9个苹果需要分给三个人,那么只需要将9个苹果分成三份对应给三个人就可以了。要将苹果分三份,只需要用两块板将苹果隔开。而题目中要求每人至少都有一个苹果,这样隔板就不能放在首位,只能放中间,那么应该总共有8个空,选出两个空放板就可以了。因此是亚洲必赢官网app( 18=28。

  例题3: 6个人站成一排,要求甲、乙必须相邻,那么有多少种不同的排法?

【答案】B。

  对于相同元素分堆问题,题中有至少一个的条件时,结果就为亚洲必赢官网app( 19。这里的元素数指的是所要分配的元素的数量,对象数指的是分配对象的数量。

  A.280 B.120 C.240 D.360

【解析】方法一:特殊位置优先法:首先填充第一棒,第一棒共有5个元素可供选择,其次第4棒则有4个元素可以选择;然后第2棒则有4个元素可以选择,第3棒则有3个元素可以选择。则共有5×4×4×3=240种。

  以上都是中公教育专家经过长期研究不断试验得出的黄金解题方案,考生在备考中可以汲取其精华,进而提升分数。

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方法二:特殊元素优先法:首先考虑甲元素的位置

  4.插空法

第一类,甲不参赛有A(5,4)=120种排法;

  在排列问题中,如果题中要求两个或多个元素“不相邻”时,可先将其余无限制的n个元素进行排列,再将不相邻的元素插入无限制元素之间及两端所形成的(n+1)个“空”中。

第二类,甲参赛,因只有两个位置可供选择,故有2种排法;其余5人占3个位置有A(5,3)=60种占法,故有2×60=120种方案。

  如果所有元素完全相同,即为组合问题,则不需要进行排列,只需要将不相邻的元素插入空中即可。

所以有120+120=240种参赛方案。

  例题4: 6人站成一排,要求甲、乙必须不相邻,有多少种不同的排法?

四、逆向考虑法

  A.240 B.480 C.360 D.720

对于直接从正面算比较复杂的排列、组合题,我们就要学会间接的方法。

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正方体8个顶点中取出4个,可组成多少个四面体?

  由乘法原理,不同的排法共有24×20=480种。

A.70 B.64 C.61 D.58

  5.隔板法

【答案】D。

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【解析】所求问题的方法数=任意选四点的组合数-共面四点的方法数,共C(8,4)-12=70-12=58个。

  例题5: 将10台相同的电脑分配给5个村,每村至少一台,那么有多少种不同的分配方法?

五、分类法

  A.126 B.320 C.3024 D.1024

解含有约束条件的排列组合问题,应按元素性质进行分类,按事情发生的连续过程分步,保证每步独立,达到分类标准明确,分步层次清楚,不重不漏。

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【例题3】五个人排成一排,其中甲不在排头,乙不在排尾,不同的排法有

  6.归一法

A.120种 B.96种 C.78种 D.72种

  排列问题中,有些元素之间的排列顺序“已经固定”,这时候可以先将这些元素与其他元素进行排列,再除以这些元素的全排列数,即得到满足条件的排列数。

【答案】C。

  例题6: 一张节目表上原有3个节目,如果保持这3个节目的相对顺序不变,再添进去2个新节目,有多少种安排方法?

【解析】由题意可先安排甲,并按其分类讨论:1)若甲在末尾,剩下四人可自由排,有A
(4,4)=24种排法;2)若甲在第二,三,四位上,则有3×3×3×2×1=54种排法,由分类计数原理,排法共有24+54=78种,选C。

  A.20                 B.12                 C.6                 D.4

专家点评:解排列与组合并存的问题时,一般采用先选(组合)后排(排列)的方法解答。解决一道排列、组合提的方法很多,但我们必须选择一种最快做有效的解题方法。这就要求我们准确掌握各种解题方法,能迅速的判断出哪种方法最适合解答该题。

  中公解析:此题答案为A。“添进去2个新节目”后,共有5个节目,因此,此题相当于“安排5个节目,其中3个节目相对顺序确定,有多少种方法?”

下面我们为考生准备5道习题,请考生们注意选择最合适的解题方法。

  由于“3个节目相对顺序确定”,可以直接采用归一法。

1、丙丁四个人站成一排,已知:甲不站在第一位,乙不站在第二位,丙不站在第三位,丁不站在第四位,则所有可能的站法数为多少种?

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A.6B.12C.9 D.24

  所以,一共有120÷6=20种安排方法。

2、马路上有编号为l,2,3,……,10
十个路灯,为节约用电又看清路面,可以把其中的三只灯关掉,但不能同时关掉相邻的两只或三只,在两端的灯也不能关掉的情况下,求满足条件的关灯方法共有多少种?

  7.线排法

A.60 B.20 C.36 D.45

  排列问题一般考查的是直线上的顺序排列,但是也会有一些在环形上的顺序排列。与直线排列问题相比,环形排列没有前后和首尾之分,此时我们只需要将其中一个元素列为队首,这样就可以把环形问题转为线形问题。

3、用数字0,1,2,3,4,5组成没有重复数字的四位数,可组成多少个不同的四位数?

  例题7: 某小组有四位男性和两位女性,六人围成一圈跳集体舞,不同的排列方法有多少种?

A .300 B.360 C.120 D.240

  A.720             B.60          C.480             D.120

4、10个名额分配到八个班,每班至少一个名额,问有多少种不同的分配方法?

  中公解析:此题答案为D。本题考虑了次序,属于排列问题。但由于围成一圈,是没有首尾之分的,所以可以将其中一个人列为队首,对其余5个人的次序进行排列。

A.45 B.36 C.9 D.30

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5、六人站成一排,求甲不在排头,乙不在排尾的排列数?

  中公教育专家认为,排列组合问题一般可一题多解,解题的基本思想都是把复杂的问题简单化。除了基本的“分类”和“分步”方法外,上述这几个方法也是比较常用的,需要牢记:特殊条件优先考虑,复杂问题反面考虑,元素相邻用捆绑法,元素间隔用插空法,元素分组用隔板法,元素定序用归一法,环形问题用线排法。

A.120 B.64 C.124 D.136

1、【解答】C。能站在第一位,因此甲必然站在后三个位置中的某一个位置。

如果甲站在第二位,则共有三种可能:乙甲丁丙,丙甲丁乙,丁甲丙乙

如果甲站在第三位,则共有三种可能,乙丁甲丙,丙丁甲乙,丁丙甲乙

如果甲站在第四位,则共有三种可能,乙丙丁甲,丙丁乙甲,丁丙乙甲

因此一共有9种可能

2、【解答】B。关掉的灯不能相邻,也不能在两端。又因为灯与灯之间没有区别,因而问题为在7盏亮着的灯形成的不包含两端的6个空中选出3个空放置熄灭的灯。所以共C(6,3)=20种方法。

3、【解答】A。排除法解P(6,4)-P(5,3)个=300个

4、【解答】B。把10个名额看成十个元素,在这十个元素之间形成的九个空中,选出七个位置放置档板,则每一种放置方式就相当于一种分配方式。因而共C(9,7)=36种。

5、【解答】D。先考虑排头,排尾,但这两个要求相互有影响,因而考虑分类。

第一类:乙在排头,有A(5,5)种站法。

第二类:乙不在排头,当然他也不能在排尾,有C(4,1)×(4,1)×(4,4)种站法,故共有136种站法。

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